Este libro fue originalmente publicado por la editorial parisiense Hermann en 1962 y más tarde traducido al inglés por Marvin J. Greenberg (Springer-Verlag, 1980) como Local fields. La traducción inglesa difiere de la tercera edición francesa por una introducción (con su respectivo Leitfaden) y por unas referencias añadidas (a decir, las entradas 126-132), además de ser tipeada en una tipografía más moderna y legible a mi gusto.
Su autor, Jean-Pierre Serre, fue galardonado con la medalla Fields en 1954 por sus aportes en topología y geometría algebraica, especialmente, su manejo de álgebra homológica y teoría de haces. A lo largo de su vida, Serre mutaría constantemente sus intereses, pasando, entre otras disciplinas, por la teoría de números y geometría aritmética. Por lo demás, Serre siembra tras de sí un prolífico catálogo de publicaciones, tanto investigativas (artículos y exposiciones) como en formato de libros y cursos. Sus aportes matemáticos originales son tantos que la expresión «por el teorema de Serre» resulta total y completamente ambigua desprovista de contexto (vid. la siguiente lista en Wikipedia). Entre sus publicaciones contamos Groupes algébriques et corps de classes, Cohomologie galoisienne, Abelian $\ell$-adic representations and elliptic curves, Cours d’arithmétique, Lectures on the Mordell-Weil Theorem, entre otras.
El libro en contexto
Lo primero que se debe contar acerca de Corps locaux (desde ahora citado como [Se1]), es que difiere de varios otros libros al respecto, por lo que se ha de esclarecer debidamente su objetivo. El texto pretende principalmente ilustrar e introducir al lector o lectora en la teoría de cuerpos de clases local desde la perspectiva cohomológica. Con ello introduzco el listado de libros contra los cuales se contrastará:
- [AT] Emil Artin y John Tate. Class Field Theory (1968, W.A. Benjamin).
- [Ca] J. W. S. Cassels. Local Fields (1986, Cambridge Univ. Press).
- [CaFr] J. W. S. Cassels y A. Fröhlich (eds.). Algebraic Number Theory [Proceedings] (1967, Academic Press).
- [Har] David Harari. Galois Cohomology and Class Field Theory (2020, Springer-Verlag).
- [NKB] Jürgen Neukirch. Klassenkörpertheorie (1969, Bibliographisches Institut Mannheim). En 2013, este fue re-editado por A. Schmidt bajo el título Class Field Theory –The Bonn Lectures–.
- [Neu] Jürgen Neukirch. Algebraische Zahlentheorie (1991, Springer-Verlag).
A diferencia de él, el libro homónimo de Cassels [Ca] trata principalmente de cuerpos ultramétricos (i.e., dotados de un valor absoluto que satisface la desigualdad ultramétrica) completos, con un énfasis en los métodos analíticos que le circundan (convergencia de serie de potencias, funciones $L$ y aplicaciones diofánticas). Así, los libros de Serre y Cassels son incomparables en cuanto se proponen cosas en sumo distintas (aunque no sean del todo disjuntos). A mi juicio, [Ca] es más cercano a libros como los de Koblitz ($p$-adic Analysis: A Short Course on Recent Work y $p$-adic numbers, $p$-adic analysis, and zeta-functions), y el capítulo segundo de [Neu].
Los siguientes también entrarán en discusión, aunque su énfasis converge por el lado de la cohomología de Galois:
- [Haz] Michiel Hazewinkel. Formal groups and applications (1978, Academic Press).
- [Se2] Jean-Pierre Serre. Cohomologie Galoisienne 5a ed. (1994, Springer-Verlag).
- [Sh] Stephen S. Shatz. Profinite groups, arithmetic, and geometry (1972, Princeton Univ. Press).
Comenzaré por señalar que el libro que, a mi juicio, más se le asemejaba en su tiempo fue [CaFr] (¡no obstante, la trampa es que el capítulo sobre teoría de cuerpos de clase fue escrito por Serre mismo!); hoy día, es casi imposible evitar poner lado a lado [Se1] con [Har].
La manera de proceder en teoría de cuerpos de clase suele tener dos caras: la primera es la llamada «teoría de cuerpos de clase abstracta» que incurre en la técnica de formación de clases (cap. XI de [Se1] y cap. 14 de [AT]) o la perspectiva cohomológica local (caps. XII-XIV de [Se1], caps. IV-VI de [CaFr], caps. 8 y 9 de [Har], cap. 2 de [NKB], cap. V de [Sh]), seguida de métodos adélicos para deducir el caso global ([AT], [CaFr], [Har] y [NKB]). Hay también alternativas: en [Neu], Neukirch desarrolló su propia estrategia para estudiar la teoría de cuerpos de clase (cercana en espíritu al método de formación de clases), y uno también puede hacer uso de la teoría de leyes de grupo formal de Lubin-Tate para estudiar el caso local (cap. 11 de [Har] y [Haz]).
Hay varias razones por las cuales, [Se1] sigue siendo hoy un texto de importancia fundacional. Una de ellas podría corresponderse con los dotes didácticos de Serre; algo que debería ser ya un hecho cotidiano para mi, pero que me sigue llamando la atención es la elegancia con la que trata sus tópicos. Otra de las razones involucra los muchos resultados que, en su día, solo estaban incluídos en ese libro (y, obvio, en artículos de expertos en el área); ejemplos de ello no tardan en aparecer en las secciones II.4 y II.5 en las que da una rápida demostración del teorema de estructura de Cohen (la referencia estándar solía ser el [EGA IV], sec. 0.19.8; y más tarde, Commutative ring theory de Matsumura), y la sección II.6 sobre vectores de Witt.
Otro ejemplo es su magistral exposición de la cohomología de grupos, incluyendo resultados técnicos que no se encontraban en otros textos del tema, como el tratamiento (hoy estándar, gracias a Serre) de la cohomología modificada de Tate y los teoremas de Tate-Nakayama. Otra diferencia en la que recientemente reparé es la mención de hacer uso de la cohomología mediante el formalismo de Grothendieck en su celebrado artículo Sur quelques points d’algèbre homologique; esto más adelante será el proceso estándar de introducir la cohomología para haces sobre un esquema (e.g., vea el libro de Hartshorne o el de Görtz y Wedhorn), pero cabe poner los puntos sobre las íes al señalar que fue Serre quién primero puso a disposición de estudiantes no especializados esta clase de técnicas.
Los geómetras también encontrarán gran recompenza en [Se1], ya que es una referencia en sumo accesible de tópicos más avanzados como la clasificación de torcimientos con cohomología de Galois no abeliana (cap. X, y el apéndice del cap. VII; vid. tb. [Se2]), y la exposición del grupo de Brauer (caps. X y XII; cfr. secs. IV.1 y V.3 de [Sh]).
Resumen de resultados
Ya se señaló antes que, a diferencia de [Ca], el enfoque sobre cuerpos locales de [Se1] es más algebraico que analítico y, por tanto, opta por valuaciones en lugar de valores absolutos.
Fijaremos un anillo de valuación discreta completo $(A_K, \mathfrak{p}_K, \overline{K})$ con cuerpo de fracciones $K$; la función de valuación es $v_K$. Dada una extensión separable finita $L/K$ denotaremos por $(A_L, \mathfrak{p}_L, \overline{L})$ a la clausura entera de $A_K$ en $L$, con valuación $v_L$.
Supongamos que la extensión de anillos $A_L/A_K$ es monogénica, es decir, que $A_L = A_K[\alpha]$. Entonces definimos los grupos de ramificación superior $$ G_j = \mathrm{Gal}(L/K)_j := \{ \sigma \in \mathrm{Gal}(L/K) : \sigma(\alpha) \equiv \alpha \pmod{\mathfrak{p}_L^j} \}, $$ estos grupos forman una filtración del grupo de Galois $G_0$. Vamos a definir el siguiente valor $$ \varphi_{L/K}(u) := \int_{0}^{u} \frac{1}{[G_0 : G_t]} \, \mathrm{d}t. $$ Es inmediato notar que $\varphi_{L/K}$ es continua, creciente y biyectiva. Con esto la formación de grupos de ramificación superior es «funtorial»:
Teorema de Herbrand (sec. IV.3): Sean $L/F/K$ extensiones de Galois (finitas) y sea $H := \mathrm{Gal}(L/F)$. Entonces: $$ \mathrm{Gal}(L/K)_uH/H = \mathrm{Gal}(F/K)_v, \qquad v := \varphi_{L/F}(u). $$
Conviene pues, definir la siguiente «notación superíndice» (que se justifica ya que $\varphi$ tiene inversa): $$ \mathrm{Gal}(L/K)^{\varphi(u)} := \mathrm{Gal}(L/K)_u. $$ Así, el teorema de Herbrand se escribe como que $$ \mathrm{Gal}(L/K)^vH/H = \mathrm{Gal}(F/K)^v. $$ Esto es conveniente pues podemos tomar límite inverso para generalizar la situación a extensiones infinitas (el lector incómodo, puede seguir asumiendo que todo es finito).
Teorema de Hasse-Arf (sec. V.7): Dada una extensión de Galois $L/K$ con grupo $G$. Si un número real $v$ es un «salto», es decir, $G^v \ne G^{v+\epsilon}$ para todo $\epsilon>0$, entonces es de hecho un entero.
Este resultado es luego empleado para dar una introducción a las representaciones de Artin (Ch. VI), un importante tópico que parece estar ligeramente ignorado por los libros de teoría de números en general (con la excepción de [Neu]). El teorema de Herbrand también está expuesto en [Neu]; el de Hasse-Arf no.
Ahora enunciaremos un corolario del teorema de Tate-Nakayama:
Teorema de Tate (sec. IX.8): Sea $G$ un grupo finito y para cada primo elijamos un $p$-subgrupo de Sylow $G_p \le G$. Dado un $G$-módulo $A$ con $a \in H^2(G, A)$ tal que:
- $H^1(G_p, A) = 0$.
- $H^2(G_p, A)$ está generado por $\mathrm{res}(a)$ y tiene orden $|G_p|$.
Entonces el producto copa con $a$ da un isomorfismo $H^n(g, \Z) \cong H^{n+2}(g, A)$ para todo subgrupo $g \le G$.
El caso general, probado por Nakayama, es más complicado y ligeramente engorroso de enunciar, por ello opté por esta versión que, en todo caso, es la más empleada en práctica. También hay importantes criterios en el camino acerca de la cualidad de ser «cohomológicamente trivial».
El capítulo siguiente se enfoca en la cohomología de Galois y da una introducción al grupo de Brauer y sus interacciones. Uno de los resultados más importantes, a mi juicio allí, es la proposición 4 de X.2 acerca de que el primer grupo de cohomología de Galois clasifica torcimientos.
Teorema de existencia (sec. XI.5): Sea $K$ un cuerpo local. Para todo subgrupo $U \le K^\times$ de índice finito, existe una extensión de Galois finita $L/K$ abeliana tal que $\mathrm{N}_{L/K}(L^\times) = U$.
Este resultado está probado en (casi) todos los libros de teoría de cuerpos de clase.
Una aplicación del teorema de Tate, tras probar que el grupo de Brauer viene de la extensión no ramificada maximal, es que $\operatorname{Br} K = \mathbb{Q/Z}$ y hay cierta funtorialidad: a decir, el homomorfismo $\operatorname{Br} K \to \operatorname{Br} L$ dada por una extensión $L/K$ es multiplicación por $[L : K]$ (este cálculo se sigue del isomorfismo con el producto copa).
¿Adónde ir después?
Así que ha terminado de leer (por vez primera) el Corps locaux, ¿ahora qué? Hay varias cosas que éste libro deja o bien implícitas o en el tintero.
En el apéndice al cap. XIV, Serre enuncia los teoremas en el caso global; como se señaló ya estos están hechos, por ejemplo, en [CaFr], [Har] y [NKB] apoyándose del caso local ([AT] y [Neu] también hacen el caso global, pero con poca o nula ayuda del caso local).
Muy curiosamente, [Se1] jamás trata explícitamente el teorema de Kronecker-Weber, ni siquiera en el caso local, lo cual resulta ya ameno con el halo de herramientas que desarrolla. En el Cap. XI de [CaFr], Hasse ofrece un destacable recuento histórico y una demostración al estilo de [Se1] se puede encontrar en [Har], [Neu] y/o [NKB]. El texto [Ca] también lo prueba mediante métodos más elementales.
Las técnicas cohomológicas conllevan directamente a un estudio sistemático de la cohomología de los módulos de Galois, específicamente, llevan directo a [Se2] y [Sh] (para una introducción, vid. [Har]). Aquí los caminos se bifurcan según el enfoque que el lector quiera para sí: si el interés recae en los grupos de Brauer, entonces posibles recomendaciones son:
- [GZ] Phillipe Gille y Tamás Szamuely. Central simple algebras and Galois cohomology (2006, Cambridge Univ. Press).
- [Gr] Alexander Grothendieck. Le groupe de Brauer I, II y III. Contenidos en Dix exposés sur la cohomologie des schémas.
El segundo corresponde a un conjunto de artículos mecanografiados, pero de gran relevancia incluso hoy. El primero, además de presentar el tópico del título, profundiza en aspectos de la cohomología de Galois tales como los torcimientos, lo que desemboca en el estudio de las variedades de Brauer-Severi, y los cuerpos de tipo $C^r$ (para esto último, vid. tb. [Sh]).
Si, en cambio, el interés recae en geometrizaciones de la cohomología de Galois, entonces se debe adentrar en distintos tipos de teorías cohomológicas de Weil. Esto ya corresponde, a mi juicio, a entrar en un terreno de naturaleza completamente distinta, pero si el lector busca un resumen rápido con aplicaciones aritméticas en vista, se recomiendan:
- [JKS] Uwe Jannsen, Steven L. Kleiman y Jean-Pierre Serre (eds.). Motives, Part 1 (1994, AMS).
- [Po] Bjorn Poonen. Rational points on varieties (2017, AMS).
- [Mil] James S. Milne. Arithmetic duality theorems (1986, Academic Press).
Específicamente, los primeros cuatro capítulos de [JKS].
Si nos enfocamos en las interacciones aritméticas de la cohomología étale y fppf, en los teoremas de dualidad y sus usos para teoría de cuerpos de clase sobre cuerpos globales de característica prima, entonces [Mil] es el lugar adecuado.
Otro libro que sigue ahondando en aspectos más avanzados de la teoría de cuerpos locales (o más generalmente, de cuerpos de fracciones de anillos de valuación discreta) es el Local fields and their extensions de I. B. Fesenko y S. V. Vostokov (2002, AMS; citado como [FV]). A mi juicio, [FV] toma harta inspiración de [Se1] en los caps. I-IV, pero desde el cap. V en adelante se distancia; el lector de [Se1] ganará harto de las técnicas en teoría K de Milnor, tb. expuestas en [GZ].