Apuntes

Documentos personales de utilidad general

Notación y aclaraciones

Algunas anotaciones adicionales:

• Las funciones conmutan por la derecha, haciéndolas intuitivas para diagramas conmutativos: $(f \circ g)(x) = g(f(x))$.
• Los libros emplean un destacado con color para las definiciones y teoremas que se consideran más relevantes.
• En el texto de topología y análisis, hay varios enunciados con indicaciones sobre qué axiomas adicionales son empleados (AEN, AE, TUF, etc.).
• La enumeración ha tomado la siguiente forma: la mayoría de enunciados siguen el esquema «(capítulo).(número)»; no obstante, los lemas que solo serán utilizados para el teorema 10.3 se denotan «10.3A, 10.3B, etc.», mientras que los corolarios y observaciones a un enunciado 4.5 se denotan «4.5.1, 4.5.2, etc.». Jamás he visto esta enumeración antes, pero me parece útil.

Transcripciones

• J.-P. Serre. Abelian $\ell$-adic representations and elliptic curves
  Este libro, publicado original por Addison-Wesley en 1989, es un clásico con dos problemas para su posterior difusión: el primero es que ya está fuera de impresión; y el segundo es que está escrito a máquina, por lo que estéticamente puede resultar repulsivo para ciertos lectores. La elección fue motivada por el hecho de que la mayoría de libros sobre curvas elípticas y variedades abelianas (incluyendo el Advanced topics… de Silverman) no tocan el tópico de las representaciones $\ell$-ádicas en profundidad, y sin embargo, es una herramienta fundamental en la investigación.

  Con Rocío Sepúlveda Manzo decidimos llevar a cabo el proyecto de retipearlo en LaTeX moderno, tratando de mantener al máximo el estilo original. El libro aún está en proceso, pero puedes descargar el pdf temporal .

Seminarios

Estos están ordenados desde más a menos reciente. El material no es nuevo en ninguno, aunque las exposiciones pueden resultar novedosas en ciertos casos.

• Una introducción a la teoría de cuerpos de clase: Y una aplicación al teorema de Kronecker-Weber.

  En ésta charla se exponen los preliminares de cohomología de grupos (modificados por Tate) para probar enunciados de Teoría de Cuerpos de Clase local (i.e., sobre cuerpos locales) y culminando con una aplicación al teorema de Kronecker-Weber (global y local). Fue expuesto el 18 de abril de 2024 en un Seminario de Teoría de Cuerpos de Clase Explícita en la PUC.

• El teorema de Barsotti-Chevalley sobre grupos algebraicos.

  Aquí hacemos una presentación en lenguaje esquemático del teorema de estructura de Barsotti-Chevalley que dice que todo grupo algebraico (i.e., esquema algebraico con estructura de grupo) conexo posee un subgrupo algebraico (cerrado) normal afín tal que el cociente es una variedad abeliana. Fue expuesto el 24 de octubre de 2023 en un Seminario de Geometría Algebraica en la PUC.

• Conjetura de Catalan: Inkeri, Mihăilescu y Wieferich.

  En ésta charla se expone un resultado de Mihăilescu que indica que un contraejemplo a la ecuación de Catalan $x^p - y^q = 1$ satisface la condición de Wieferich doble que dice que $p^{q-1} \equiv 1 \pmod{q^2}$ y $q^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2}$. En el camino incurrimos a herramientas como los cuerpos ciclotómicos y el teorema de Stickelberger. Fue expuesto el 22 de septiembre de 2023 en un Seminario de Teoría de Números en la PUC.

• Cohomología en topología algebraica: O cómo aprendí a dejar de preocuparme y amar los métodos algebraicos.

  En ésta charla se dan la definición y unas propiedades básicas de los grupos de (co)homología singular de un espacio topológico, y con ello se ilustra el cómo se pueden emplear para probar resultados como el teorema de Borsuk-Ulam. Fue expuesto el 7 de septiembre de 2023 en un seminario de Topología Algebraica en la PUC.

• Variedades abelianas e hipótesis de finitud.

  Aquí hacemos una sintética exposición de variedades abelianas y presentamos el teorema de finitud de Tate para variedades abelianas sobre cuerpos finitos. Fue expuesto el 12 de mayo de 2023 en un Seminario sobre las Conjeturas de Tate en la PUC.

• Leyes de grupo formal de Lubin-Tate.

  En ésta exposición se presentan las leyes de grupo formal de Lubin-Tate que si bien, desprovistas de contexto tienen la apariencia de ser objetos técnicos, tienen aplicaciones en la Teoría de Cuerpos de Clase (caso local) y en el anillo de endomorfismos de una curva elíptica. Fue expuesto el 26 de octubre de 2022 en un Seminario Grupos Formales en la PUC.

• El nivel de un cuerpo: ¿O cuándo $-1$ es suma de cuadrados?

  En ésta exposición se estudia el nivel $s$ de un cuerpo que es la mínima cantidad de términos que al cuadrado suman $-1$, y se expone el (sorprendemente simple) teorema de Pfister que dice que $s = 2^n$. Fue expuesto el 30 de septiembre de 2022 en un Seminario de Teoría de Números en la PUC.

Otros

Éste es material que no entra en ninguna de las categorías anteriores.

• Cómo reconocer curvas elípticas isógenas (mediante formas modulares) (con Daniel Rodriguez y Rocío Sepúlveda-Manzo).
  Este fue un trabajo/informe para un curso acerca de formas modulares dicado por Héctor Pastén en 2024, y su objetivo es dar una introducción al teorema de modularidad, con un énfasis en métodos computacionales que se siguen de él para clasificar curvas elípticas salvo isogenia.
  Mientras ibamos escribiendo el informe junto a mis compañeros, me topé con unos trabajos de John Cremona, en donde se da a entender que este es precisamente el método que él emplea.

• Las conjeturas de Weil, cohomología étale y conjeturas de Tate (48 pp.).

  Esta fue mi «tesina» (= «tesis pequeña») de pregrado para un Taller de investigación científica con Héctor Pastén. En síntesis, aquí presentamos los tópicos del título, las conjeturas de Weil para variedades sobre cuerpos finitos, la maquinaria de la cohomología étale (y de las teorías de cohomología en general), y una de las conjeturas de Tate en geometría aritmética. El documento está pensado como una «invitación» o «guía de usuario» a estos temas: no se incluyen profundas demostraciones, aunque se incluye una muy detallada bibliografía que esperamos sea de utilidad.

  En detalle: en esta exposición se presenta la demostración de las conjeturas de Weil para curvas ¹, junto con aplicaciones adicionales, incluyendo una forma débil de unas cotas de Lang-Weil con una demostración mía, más cerca de los métodos de Grothendieck. Tras ello, se presentan las conjeturas de Weil en toda generalidad, se explican las Teorías de cohomología de Weil con las cuales (asumiendo su existencia) se prueban la racionalidad y ecuación funcional de las funciones dseta. Luego, se exponen las propiedades básicas de la cohomología étale y, mediante la comparación de cohomologías étale $\ell$-ádicas y analíticas se obtienen la relación con números de Betti. En la última sección se enuncian las conjeturas de Tate (y su importancia en teoría de números), y se da una demostración original de que la conjetura $T^1$ es válida para variedades geométricamente íntegras, proyectivas, suaves de dimensión $\le 3$ con tangente nef sobre un cuerpo numérico $k$; empleando una clasificación de Campana y Peternell.

• Durante el primer semestre de 2023 organizamos un grupo de estudio de esquemas (Hartshorne, Algebraic Geometry, Chapter II), al cual aporté con tres charlas. Estas principalmente se dedicaron a introducir conceptos y realizar ejercicios. El 17 de mayo dí una charla titulada Introducción a la dimensión y el 29 de mayo dí otra sobre Morfismos separados. El 10 de abril también hice una sesión de ejercicios sobre haces, pero no escribí un documento digital.

• Una guía para olimpiadas de teoría de números fichada el 21 de abril de 2019. Éste lo escribí en la secundaria y durante un tiempo recorrió la web, alcanzó cerca de 3,000 visitas. Está indudablemente fuera de lugar comparado al resto de documentos de este sitio.