Seminario de la Conjetura $abc$ y temas afines

Un seminario acerca de la conjetura $abc$ y sus variaciones en geometría diofántica, y otras tendencias en teoría de números. Organizado por José Cuevas y Héctor Pastén.

Este seminario se lleva a cabo (casi) todos los viernes, a las 10:00 hrs en la sala 3. He aquí una lista cronológica de las charlas:

1. Héctor Pastén (19 de abril). Una introducción a la conjetura $abc$.
   Explicaremos el enunciado e historia de la conjetura $abc$, su relación con curvas elípticas, y daremos un poco de contexto para entender su relevancia.
2. Rocío Sepúlveda Manzo (26 de abril). Nociones generales acerca de curvas elípticas.
   En ésta charla se repasan las nociones generales sobre curvas elípticas, con un lenguaje geométrico más robusto, y tiene como propósito formular la conjetura de Szpiro.
3. Ignacio Henríquez (10 de mayo). La conjetura $abc$ y la conjetura de Szpiro.
   En esta charla estudiaremos la relación entre la conjetura $abc$ y la conjetura de Szpiro y veremos que son «casi equivalentes». Más precisamente, mostraremos que la conjetura $abc$ implica la conjetura de Szpiro y que ésta última implica una versión un poco más débil de la primera.
4. Francisco Gallardo (17 de mayo). Formas Lineales en Logaritmos.
   En esta charla presentaremos la técnica de las Formas Lineales en Logaritmos, la cual entrega diversas mejoras en la resolución del problema $abc$ subexponencial.
5. Héctor Pastén (24 de mayo). La altura de Faltings de una curva elíptica.
   Explicaremos qué es la altura de Faltings de una curva elíptica, y cómo se relaciona a otros invariantes tales como el discriminante minimal y el invariante $j$. Con esto, enunciaremos la llamada «conjetura de la altura» y veremos que ésta implica la conjetura $abc$.
6. Sesión extraordinaria: Jerson Caro (7 de junio). Propiedades Diofánticas en valores especiales de la función dseta de Dedekind.
   De acuerdo con un teorema de Northcott, cualquier conjunto de números algebraicos de altura acotada y grado acotado es finito. Propiedades análogas de finitud son también satisfechas por otras alturas, por ejemplo, la altura de Faltings.¹
   Dadas las relaciones conjeturales entre alturas y valores especiales de funciones $L$ (la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es el ejemplo más renombrado), es natural preguntarse si valores especiales de las funciones $L$ satisfacen una propiedad de Northcott similar.
   En ésta charla presentaré un trabajo en progreso con Fabien Pazuki y Riccardo Pengo en el que se demuestra que la función $\zeta$ de Dedekind en $1/2$ no satisface la propiedad de Northcott.
7. Matías Alvarado (14 de junio). Formas y curvas modulares.
   Una de las aproximaciones hacia la conjetura $abc$ que hemos estudiado es el estudio de la aritmética de curvas elípticas. La conexión de estas últimas con curvas modulares y formas modulares ha sido muy fructífero en los últimos años, permitiendo probar por ejemplo el último teorema de Fermat. En esta charla definiremos las formas y curvas modulares para tenerlas como herramientas para charlas futuras.
8. Matías Alvarado (21 de junio). Modularidad y conjetura $abc$.
   En esta charla comenzaremos con un repaso de la teoría de formas modulares. Luego estudiaremos el problema de modularidad de curvas elípticas y finalizamos relacionando la modularidad con la conjetura $abc$.
9. Matías Alvarado (28 de junio). Modularidad y conjetura $abc$ (parte II).
   En esta charla partiremos introduciendo la noción de modularidad de curvas elípticas, la cual tiene estrecha relación con los objetos introducidos en las dos charlas pasadas (formas modulares y curvas modulares). Luego exploramos algunas propiedades de las parametrizaciones modulares y estudiaremos algunas conjeturas relacionadas a esta. Para finalizar veremos la conexión entre estas conjeturas y otras que ya hemos visitado en el seminario.

Material de referencia

El material sobre curvas elípticas está expuesto en [Si1] y [Si2], algunas de las equivalencias de la conjetura $abc$ están expuestas en la sección 12.5 de [BoGu]. Los artículos [SY] son una referencia fundamental.

• [BoGu]: Enrico Bombieri y Walter Gubler. Heights in Diophantine Geometry (Cambridge Univ. Press, 2006).
• [CS]: Gary Cornell y Joseph H. Silverman (eds.). Arithmetic Geometry (Springer-Verlag, 1986).
• [Si1]: Joseph H. Silverman. The Arithmetic of Elliptic Curves (Springer-Verlag, 2009).
• [Si2]: Joseph H. Silverman. Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves (Springer-Verlag, 1994).
• [SY]: C.L. Stewart y Kunrui Yu. On the $abc$ conjecture I (Math. Ann., 1991) y II (Duke Math. J., 2001).