Seminario de la Conjetura $abc$ y temas afines II

Un seminario acerca de geometría diofántica y otros temas diversos.

Seminars

3 minutos

Este seminario se lleva a cabo (casi) todos los viernes, a las 13:30 hrs en la sala 1. He aquí una lista cronológica de las charlas:

  1. José Cuevas Barrientos (28 de marzo). El teorema de Belyi.
    En esta charla se da un resumen de la versión de Grothendieck del teorema de existencia de Riemann que dice que «todo recubrimiento topológico entre las analitificaciones de esquemas algebraicos sobre $\mathbb{C}$ viene de un morfismo étale» y se aplica para probar el teorema de Belyi de que una curva proyectiva y suave sobre $\mathbb{C}$ está definida sobre $\mathbb{Q}^{\rm alg}$ si y sólo si posee un morfismo hacia $\mathbb{P}^1$ que se ramifica en tres puntos.

  2. José Cuevas Barrientos (4 de abril). «Mordell es tan fácil como $abc$.»
    El objetivo de esta charla es explicar las propiedades básicas de alturas en geometría diofántica para finalmente explicar cómo deducir la conjetura de Mordell efectiva asumiendo la conjetura $abc$ empleando el teorema de Belyi.

  3. Felipe Hernández (11 de abril). Productos simétricos de curvas.
    En esta charla se expuso acerca de cocientes de esquemas algebraicos por acciones de grupos finitos, la definición del producto simétrico $\mathrm{Sym}^n X$ de una variedad $X$, la suavidad cuando $X$ es una curva suave y el isomorfismo con el esquema de Hilbert. Además se dieron resultados acerca del subesquema cerrado $W^r$ en el jacobiano mediante los morfismos de Hilbert-Chow.

    Referencias:

    • E. Arbarello, M. Cornalba, P. A. Griffiths y J. Harris. Geometry of Algebraic Curves, Vol. I (Springer-Verlag New York, 1985).
    • R. L. E. Schwarzenberger. Jacobians and symmetric products. Illinois J. Math. (1963).

  4. Héctor Pastén (25 de abril). Sobre el máximo común divisor.
    En esta charla se explicará qué es el máximo común divisor, desde un punto de vista de la geometría diofántica, y su utilidad. Más precisamente, el «máximo común divisor» determina una función que corresponde a la altura en una explosión.

  5. Felipe Inostroza (16 de mayo). Sobre la fórmula de Riemann-Hurwitz.
    En esta charla se expusó acerca de la fórmula de Riemann-Hurwitz en el contexto de superficies de Riemann compactas: específicamente, esta nos da una relación entre el género de las superficies y los índices de ramificación de una función analítica no constante.

    Además se expusieron aplicaciones aritméticas al caso de curvas elípticas, se dio una prueba del análogo del Último Teorema de Fermat y de la conjetura $abc$ para funciones holomorfas.

  6. Benjamín Castillo (30 de mayo). Una cota inferior para la altura de un número algebraico.
    Estudiaremos la demostración de un resultado de Silverman, en el cual obtuvo una cota inferior para la altura multiplicativa de un número algebraico en términos del discriminante de un cuerpo de números.

Referencias principales

  • Enrico Bombieri y Walter Gubler. Heights in Diophantine Geometry (Cambridge Univ. Press, 2006).
  • Serge Lang. Fundamentals of Diophantine Geometry (Springer-Verlag, 2010).