Seminario de la Conjetura $abc$ y temas afines II

Un seminario acerca del teorema de Faltings, sus aplicaciones en geometría diofántica y las interacciones con las conjeturas de Green-Griffiths-Lang.

Seminars

2 minutos

Este seminario se lleva a cabo (casi) todos los viernes, a las 13:30 hrs en la sala 1. He aquí una lista cronológica de las charlas:

  1. José Cuevas Barrientos (28 de marzo). El teorema de Belyi.
    En esta charla se da un resumen de la versión de Grothendieck del teorema de existencia de Riemann que dice que «todo recubrimiento topológico entre las analitificaciones de esquemas algebraicos sobre $\mathbb{C}$ viene de un morfismo étale» y se aplica para probar el teorema de Belyi de que una curva proyectiva y suave sobre $\mathbb{C}$ está definida sobre $\mathbb{Q}^{\rm alg}$ si y sólo si posee un morfismo hacia $\mathbb{P}^1$ que se ramifica en tres puntos.

  2. José Cuevas Barrientos (4 de abril). «Mordell es tan fácil como $abc$.»
    El objetivo de esta charla es explicar las propiedades básicas de alturas en geometría diofántica para finalmente explicar cómo deducir la conjetura de Mordell efectiva asumiendo la conjetura $abc$ empleando el teorema de Belyi.

  3. Felipe Hernández (11 de abril). Productos simétricos de curvas.
    En esta charla se expuso acerca de cocientes de esquemas algebraicos por acciones de grupos finitos, la definición del producto simétrico $\mathrm{Sym}^n X$ de una variedad $X$, la suavidad cuando $X$ es una curva suave y el isomorfismo con el esquema de Hilbert. Además se dieron resultados acerca del subesquema cerrado $W^r$ en el jacobiano mediante los morfismos de Hilbert-Chow.

    Referencias:

    • E. Arbarello, M. Cornalba, P. A. Griffiths y J. Harris. Geometry of Algebraic Curves, Vol. I (Springer-Verlag New York, 1985).
    • R. L. E. Schwarzenberger. Jacobians and symmetric products. Illinois J. Math. (1963).

  4. VIERNES SANTO (18 de abril).

  5. Héctor Pastén (25 de abril). Para ser anunciado.

Referencias principales

  • Enrico Bombieri y Walter Gubler. Heights in Diophantine Geometry (Cambridge Univ. Press, 2006).
  • Serge Lang. Fundamentals of Diophantine Geometry (Springer-Verlag, 2010).